假設檢定怎麼設?

某公司想了解在雞飼料中加入魚骨粉後,雞每月平均產蛋量是否高於原本餵食一般飼料的每月平均產蛋量 \(20\) 個,因此,以加入魚骨粉的飼料餵食 \(100\) 隻雞一段時間後,發現把魚骨粉加入飼料中餵食後,每隻雞每月平均產蛋量為 \(23\) 個。單純從數據來看,\(23 > 20\),代表加入魚骨粉可提昇雞蛋產量嗎?其實不一定。

獲得「每隻雞每月平均產蛋量 \(23\) 個」的原因可能有兩種,一種就是如飼料公司預期的,因為在飼料中加入魚骨粉使得產量提高;另一種可能性,是因為與飼料無關的因素造成的結果:例如當時環境較適合雞生蛋、或者單純運氣好選出的 \(100\) 隻雞剛好產量較高等,這些因素在統計學上統稱為「隨機誤差」(random errors)。負責試驗的公司職員要如何得知獲得「每隻雞每月平均產蛋量 \(23\) 個」的原因究竟為何?最直觀的作法是比較前面兩種可能性的機率高低。

「推論統計學」即是基於機率論, 利用樣本進行假說檢定 (hypothesis testing)。上例中造成產蛋量提昇的原因在統計上稱為「假說」或「假設」,與施加特定因素造成之效應(飼料中加入魚骨粉使得產量提高)有關的假說稱為「對立假說」(alternative hypothesis),意指對立於由隨機誤差造成之效應有關的假說。由於由隨機誤差造成之效應與欲探討特定因素無關,表示該特定因素「什麼也沒做」,因此統計上稱由隨機誤差造成之效應的假說為「虛無假說」(null hypothesis)。

為了計算與比較虛無假說和對立假說的可能性,必須指定兩種假說的對應的機率分布。上例中虛無假說對應的機率分布,可以從「原本餵食一般飼料的每月平均產蛋量 \(20\) 個」的經驗中,設定產蛋量服從平均值為 \(20\) 的常態分布 (normal distribution),標記為 \(N (20, \sigma^2)\),其中 \(\sigma^2\) 為產蛋量的族群變異數。因此,隨機抽取 100 隻蛋雞作為樣本,計算每隻雞的平均產蛋量 \(\bar{X}\),根據統計理論的推導,\(\bar{X}\) 的機率分布為 \(N(20,\sigma^2/100)\);此時 \(\bar{X}\) 的機率分布是依據虛無假說的情境所設置,因此此機率分布又稱為 \(\bar{X}\) 的「虛無分布」(null distribution)。

對立假說對應的機率分布較難設定。上例中得知在對立假說成立下,餵食添加魚骨粉飼料的產蛋量高於餵食一般飼料的產蛋量,假設此時的產蛋量亦服從常態分布、且其變異數同樣為 \(\sigma^2\),若以 \(\mu\) 代表餵食添加魚骨粉飼料的平均產蛋量,我們只能設定餵食添加魚骨粉飼料的產蛋量的機率分布為 \(N (\mu, \sigma^2)\),且 \(\mu>20\)。此時 \(\bar{X}\) 的機率分布應為 \(N(\mu,\sigma^2/100)\),是依據對立假說的情境所設置,但由於 \(\mu\) 值未定,也就無法依據該機率分布計算任何機率值。

因此,我們就回到可以用以計算機率值的虛無分布。同樣根據經驗,我們知道產蛋量的變異數為 \(\sigma^2=9^2=81\),因此,\(\bar{X}\) 的虛無分布為 \(N (20, 9^2)\)(圖一;以黑色實線表示)。雖然對立假說下 \(\bar{X}\) 的機率分布未定,但可以得知一定是平均值高於虛無分布的常態分布,在圖一中以紅色虛線表示其中一種可能性。由於此假說檢定中,對立假說的機率分布在虛無假說的右側,因此歸類為「右尾檢定」。

假設檢定怎麼設?

圖一 本文範例中雞蛋樣本平均產量在虛無假說下的機率分布 (黑色實線) 與在對立假說下的機率分布(紅色虛線)(本文作者劉力瑜繪)

由圖一看來,即使在虛無分布的情境下,得到樣本平均值為 \(23\) 個蛋是有可能的,但是在對立假說成立的情境下,得到樣本平均值為 \(23\) 的可能性似乎高一些。實際計算在虛無分布的情境下獲得樣本平均值大於或等於 \(23\) 的機率(虛無分布曲線下由 \(23\) 到無限大積分所得結果)為 \(0.0004\),顯示在虛無假說的情境下,得到與 \(23\) 相同或超過 \(23\) 的機率微乎其微,因此,可以合理的推測虛無假說應不正確,藉以反證對立假說成立。

    �b����²�椶�а��]�˩w�������W���B�����H�����ΡA�Y���i�@�B�\Ū�аѦ������(2003).  �Ʋz�έp�ĤK���A�خ���ƨƷ~�ѥ��������q�C

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假設檢定怎麼設?
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(statistical inference)

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(testing hypothesis)

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(acceptance region)

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(rejection region)

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(test statistic)

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  • �Y�ұo���[���ȱop-�Ȱ��p�A�p���A�h�����[�����ɦܱ�o��L���]�C

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  • �b�`�A���G�����]�U�A�έp�q

假設檢定怎麼設?

           ���ۥѫ���T-���G�C(���˥��зǮt)�C

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T-test)

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    假設檢定怎麼設?
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    假設檢定怎麼設?
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    假設檢定怎麼設?

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                        ��"stats"�C)

    • T-�˩w�Gt.test(x, y=NULL, alternative=c("two.sided", "less", "greater"), mu=0, paired=FALSE, var.equal=FALSE, conf.level=0.95)�C

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    • x�G�����˩w����ơA�����O�ƭȦV�q����F

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    • alternative�G���˩w������߰��]�A������ "two.sided", "less", "greater"�䤤�@���A�w�]�� "two.sided"�F

    • mu�G�Y����@�˥��h����"mean"���ȡA�Y����ӿW�߼˥��h���ܨ�Ӽ˥�"mean"���t�Z�F

    • paired�G�O�_������˥��A�w�]��"FALSE"�F

    • var.equal�G��Ӽ˥���"variance"�O�_�۵��A�w�]��"FALSE"�F

    • conf.level�G�H��϶����H�ߤ��ǡA�w�]��"0.95"�C

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    �Q�Τw�����G(�`�A���G)�ͦ��H���üƨöi���˩w���R�C �ͦ��T�ձ`�A���G���H���üƸ�ơA���O��

    假設檢定怎麼設?
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    假設檢定怎麼設?
    假設檢定怎麼設?
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    11.004057025.823255162.855467742-0.379440623.658577469.417950983-1.336904415.08153128-2.5147333141.705958514.633105142.784442685-1.0216138484.78817883-4.5113698760.024881065.5781733030.159087647-2.036369205.740097556.0271274580.279126064.604723408.433567669-0.040360024.9455255512.54101082101.423869704.790238103.17784588

    �@��˥�T�˩w���ҡG

    �ѳ�˥���T�˩w�����G�i���˩w�έp�q t �� -0.0986�A�B���Ȭ�0.9236, ���Ȥj��ҳ]�w����ۤ����C  �G�Ѥ��R���G�������ƾڤ��ڵ���L���]�C �b���R���G��, �]�C�X�F95%�H��϶��μ˥������C 

          �d�ҵ{���X�G   

    >norm2.test<-data.frame(rnorm(10,mean=0,sd=1),
    + rnorm(10,mean=5,sd=1),rnorm(10,mean=5,sd=5))

    > t.test(norm2.test[,1],mu=0,alternative =c("two.sided"),
    + conf.level = 0.95)            

     

    假設檢定怎麼設?

    �@�G�˥�T�˩w���ҡG(���]�ܲ��Ƭ۵�)

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    ���ƾڨӶi��G�˥���T�˩w���R�C���O�P��˥���T�˩w���P�@���O�A�Y��t.test���C�Y�@�}�l�ä����D���G���ƾ�, �O��
    假設檢定怎麼設?
    ��
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    ���G�Ҳ��ͪ��A�B���]�ܲ����O�۵����A�Q��T�˩w�ӧ@���R�A �i�o���Ȭ�9.268e-10�A���Ȥp��ҳ]�w����ۤ����C �G�Ѥ��R���G�����ƾکڵ���L���]�C�P�˪�, �b���R���G���A �]�C�X�F95%�H��϶��ΤG�ո�ƪ��˥������C

    �@

          �d�ҵ{���X�G   

    > t.test(norm2.test[,1],norm2.test[,2],alternative =
    + c("two.sided"),paired=F,var.equal = T,conf.

    + level = 0.95)         

     

    假設檢定怎麼設?

    �@

    �@�G�˥�T�˩w���ҡG(���]�ܲ��Ƥ��۵�)     

    �Y���]�ܲ��ƬO���۵����A�i�o���Ȭ� 1.856e-8, ���Ȥp��ҳ]�w����ۤ����C �G�Ѥ��R���G�����ƾڦP�˩ڵ���L���]�C�P�ɤ]�b���R���G���A�C�X�F95%�H��϶��ΤG�ո�ƪ��˥������C

    �@

          �d�ҵ{���X�G   

    > t.test(norm2.test[,1],norm2.test[,2],alternative =
    + c("two.sided"),paired=F,var.equal = F,

    + conf.level = 0.95)         

     

    假設檢定怎麼設?

    �@


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    F-�˩w

    (F- test)

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    (F-test)

    • �Ψ��˩w��Ӳέp�q�O�_���p�۵����ܲ��ơC�j��F�Ȫ��ܤ��l���έp�q�i����p���j���ܲ��ơC

  • F-�˩w��٬��ܲ��Ƥ���˩w�C

  • ��ռ˥��j�p���O���M����ռ˥����ۦP�@�ӱ`�A���G�A�h�������ܲ��ƪ���Ӧ��p���M������۵��C�n�O����������1�A���N���z�ѻ{���o��Ӽ˥��i��Ӧۤ��P������C

  • �]����տW�ߪ��H���˥�,, ���O��

    假設檢定怎麼設?
    ��
    假設檢定怎麼設?
    ���G�C �S�H�A���O����ռ˥����˥��ܲ��ơC ���˩w
    假設檢定怎麼設?
    �C���]�Ҭ��w���C�h

    假設檢定怎麼設?

    �Y�Ҭ������A �����u�ɡA�h

    假設檢定怎麼設?

    �@

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      �`�N�G�Х� load package "ctest"�C(�Y���s�� R1.9.0���A�h�� package��

                        ��"stats"�C)

    • F-�˩w�Gvar.test(x, y, ratio=1, alternative=c("two.sided", "less", "greater"), conf.level=0.95)�C

                �Ѽƻ����G

    • x, y�G���O����Ӽ˥�����ơA�����O�ƭȦV�q�����F

    • ratio�G�˥�"x"���ܲ��ƻP�˥�"y"���ܲ��ƪ���ȡA�w�]��"1"�F

    • alternative�G���˩w������߰��]�A������ "two.sided", "less", "greater"�䤤�@���A�w�]�� "two.sided"�F

    • conf.level�G�H��϶����H�ߤ��ǡA�w�]��"0.95"�C

       ��ƻ����G�@�@

    �Q�� 1��

    假設檢定怎麼設?
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    假設檢定怎麼設?
    �ƾڨӶi���ܲ��ƪ��˩w���R�C���O���� var.test���C�Y�@�}�l�ä����D���G���ƾڡA�O��
    假設檢定怎麼設?
    ��
    假設檢定怎麼設?
    ���G�Ҳ��ͪ��A�Q���ܲ����˩w���R�i�o���Ȭ�0.0001373�A���Ȥp��ҳ]�w����ۤ����C �Ѥ��R���G�����ƾکڵ���L���]
    假設檢定怎麼設?
    �C�P�˪��A�b���R���G���A��C�X�F95%�H��϶��ΤG�ո�Ƥ��˥��ܲ��ƪ���ҭȡC

          �d�ҵ{���X�G    

    > var.test(norm2.test[,1],norm2.test[,3],ratio=1,
    + alternative =c("two.sided"),conf.level = 0.95)

    假設檢定怎麼設?


    �d���˩w

    (chi-square  test)

    �@

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    �W��

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    (chi-sqaure test)

    • �d���˩w�S�٬��ֺ��ͤ��d��A�X���˩w(Pearson's chi-square goodness-of-fit test)�A�O�̱`�Ϊ��A�X���˩w�k���@�C

  • "fit"�@���A�N�O�����v�ҫ��O�_�X�A�C

  • ��@�H���{�H�A�Ѧ����쪺�ƾڡA�Q�˩w�Y�@�ҫ��惡�ռƾڬO�_�X�A�C

  • �Q�ϧO�ƾڪ����t�O�ѩ���B�Ҳ��͡A�ίu���O�]�ҫ�������T�A�o�عL�{�ܲκ٬��A�X���˩w�C

  • �ֺ��ͥd��(Pearson )�έp�q��

  • 假設檢定怎麼設?
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              ���t�����p�C

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      �`�N�G�Х� load package "ctest"�C(�Y���s�� R1.9.0���A�h�� package��

                        ��"stats"�C)

    • �d���˩w�Gchisq.test(x, y = NULL, correct = TRUE,
      p = rep(1/length(x), length(x)),simulate.p.value = FALSE, B = 2000)�C

                �Ѽƻ����G

    • x�G���V�q�ίx�}����C

    •  y�G �V�q����C�Y"x"�ߤ@�x�}����h�ٲ�"y"�F

    • correct�G�O�_�@�s��ʭץ��A�w�]�� "TRUE"�F

    • p�G�P"x"���ۦP���פ��V�q�����v�F

    • simulate.p.value�G�O�_�Q��Monte Carlo simulation�p��p-���F

    • B�G�Q��Monte Carlo simulation�Ҷ��������C

       ��ƻ����G�@�@

    �H�s�w���ۦW������ܨ��ͪ������笰�ҡC�L�N�����(round yellow)�ؤl���P������(wrinkled green)�ؤl���ܨ�����C�̨�z�סA�|�ͪ��X����B���B�����ο���ؤl����N����v�A�����O��9/16, 3/16, 3/16��1/16�C�g�Ѥ@�զ�556�Ӽ˥�������A�ڭ̦C�X�[���W�v�δ����W�v��� 2�C

    �� 2 �ܨ������ͪ����[���W�v�δ����W�v

    ���������������[���W�v31510810132�����W�v312.75104.25104.2534.75

    �@

    �Ѫ� 2����ơA�Q��R���d���˩w�����O��chisq.test���A�ұo���G�A�Ȭ�0.9254�C�]���L�k�ڵ���L���]:�s�w�����z�׬����T�C

    �@�@  �@

          �d�ҵ{���X�G                   

    > pea<-read.table("pea.txt")
    > chisq.test(pea,p=c(9/16,3/16,3/16,1/16))

    假設檢定怎麼設?


    �̤j�������p�k

    �@

    (method of maximum likelihood)

    �@

            �̤j�������p���z�׬[�c�Ωʽ�, �аѦҽаѦ������(2003)�C�خ���ƨƷ~�ѥ��������q�C

    �@

    �@

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    �W��

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    �̤j�������p�k

    (method of maximum likelihood)

    �@

    • �̤j�������p�k�A �N�O��Ѽ������p�q�A�ϱo�b���U�A �|�̥i�ಣ�ͼƾ��C���ӭn�����X�A �˥������G�~�|�����M�w�C�{���[���쪺���˦^�h���Q, ��˪��A�~�|�Ϧ��b�Ѧh�i�઺���ޱo�Y�w�H�Y�s�b�A�K�٬����̤j�������p��(maximum likelihood estimate, ²�g��MLE)�C

    • �Q�γ̤j�������p�k�i���o�@�DZ`�����G���̤j�������p�ȡC�H

      假設檢定怎麼設?
      �ӻ�, �]���Ӽ˥��A,,�C �Y���ҥ���, �h�i���o���� �̤j�������p�Ȥ��O����
      假設檢定怎麼設?
      �C�ӰѼƬ������Ƥ��G ���̤j�������p�ȫh��
      假設檢定怎麼設?
      �C

    �@

      �`�N�G�Х� load package "MASS"�C

    • �̤j�������p�Gfitdistr(x, densfun, start)�C

                �Ѽƻ����G

    • x�G���V�q�ίx�}����C

    •  densfun�G ���@�r��έp����G�Ȫ���ơC�ثe�ڭ̴��չL�w�i�ϥΪ���Ƭ�"gamma"�A"exponential"�A"normal"�A"t"�A"weibull"�A"Negative Binomial"�C

    • start�G���w�Ѽƪ��C���A�������i�ٲ��C

       ��ƻ����G�@�@

    �Q��R�ͦ�10��

    假設檢定怎麼設?
    ���ƾڡA�p�� 3�C ��R�����O�p���i�o������ƪ����A�Ѥ������ɪ����G�����̤j�������p�Ȥ��O����
    假設檢定怎麼設?
    �C

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    假設檢定怎麼設?
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    2

    0.580494591832429

    3-0.20346305638923140.05079232427323635-0.4001485825126666-0.1335619983016127-1.4897860420146780.88331941693933591.19584395609907100.690597401520781

    �@

          �d�ҵ{���X�G                   

    > simnorm<- rnorm(10,mean=0,sd=1)
    > fitdistr(simnorm,"normal")

    > mean(simnorm) ���̤j�������p��

    > sqrt((10-1)*var(simnorm)/10) ���̤j�������p��

    假設檢定怎麼設?

    �@

    �P�˦a�A�Q��R�ͦ�10�����Ƥ��G�Ѽ����ƾ�, �p�� 4�C �z�LR���p��i�o�A�Ѥ������ɪ����G���̤j�������p�Ȭ�

    假設檢定怎麼設?
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    > simnorm<- rnorm(10,mean=0,sd=1)
    > fitdistr(exp,"gamma",shape=1)

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    假設檢定怎麼設?

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      假設檢定怎麼設?
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      假設檢定怎麼設?
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    如何做假設檢定?

    最初研究假设为真相不明。.
    提出相关的虛無假說和對立假說。.
    考虑检验中对样本做出的统计假设;例如,关于母體資料的分布形式或关于独立性的假设。 ... .
    选择一个顯著水準(α),若低于这个概率阈值,就拒绝零假设。 ... .
    選擇適合的检验统计量(Test statistic) T 。.
    在設定虛無假說為真下推导检验统计量的分布。.

    假設檢定怎麼看?

    當樣本檢定量越大,越容易拒絕H0時,即為右尾檢定;反之,當樣本檢定量越小,越容易拒絕H0時,就稱為左尾檢定;若樣本檢定量越大或越小均可能拒絕H0時,則為雙尾檢定。 然而,如果虛無假設在事實上成立,但是檢驗的結果卻將虛無假設推翻,而造成檢定錯誤,我們稱之為型一誤差(Type I Error)。

    H0怎麼假設?

    打一個比方,以法官判案來說,我們的虛無假設H0是「被告無罪」,對立假設H1是「被告有罪」。 如果我們有足夠的證據來推翻H0「被告無罪」,我們就可以證明對立假設H1「被告有罪」,但我們不會說我們接受H0「被告無罪」,而是因為沒有足夠的證據證明H1「被告有罪」,因此不拒絕H0「被告無罪」。

    假設檢定的方法可為哪三種?

    假設檢定有三種.
    ∎ 雙尾檢定: H0 : θ=θ0; H1 : θ≠θ0..
    ∎ 左尾檢定: H0 : θ≧θ0 ; H1 : θ<θ0..
    ∎ 右尾檢定: H0 : θ≦θ0 ; H1 : θ>θ0..