一、單選題 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解: (1)\(\overline{PA}=12\ne 13\) (2)\(\overline{PB}=\sqrt{10^2+5^2+12^2}\ne 13\) (3)\(\overline{PA}=\sqrt{5^2+12^2+12^2}\ne 13\) (4)\(\overline{PA}=\overline{PB}=\sqrt{5^2+12^2}=13\) (5)(0,0,24)不在xy平面上 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 解: 圓:\(x^2+y^2+2x+2y+1=0\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=1\Rightarrow\) 圓心(-1,-1),半徑1; 兩圖形位置如上圖,相交於2點,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\) 解: 若\(x\ge 3\Rightarrow |4x-12|\le 2x\Rightarrow 4x-12\le 2x\Rightarrow x\le 6
\Rightarrow 3\le x\le 6\) 解:$${ \left( 1+\sqrt { 2 } \right) }^{ 6 }=\sum _{ k=0 }^{ 6 }{ C^{ 6 }_{ k }{ \sqrt { 2 } }^{ k } } \\ =\left( 1+C^{ 6 }_{ 2 }\times 2+C^{ 6 }_{ 4 }\times 2^{ 2 }+C^{ 6 }_{ 6 }\times 2^{ 3 } \right) +\left( C^{ 6 }_{ 1 }\sqrt { 2 } +C^{ 6 }_{ 3 }{ \times 2\sqrt { 2 } }+C^{ 6 }_{ 5 }{ \times 2^{ 2 }\sqrt { 2 } } \right) \\ \Rightarrow b=C^{ 6 }_{ 1 }+2C^{ 6 }_{ 3 }+2^{ 2 }C^{ 6 }_{ 5 }$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\) 解: 使用藥物A第一次療程失敗的情形:第一類且第一次療程失敗或第二類,機率為\(0.7\times(1-0.7)+0.3 = 0.21+0.3=0.51\) 二、多選題 解: (1) (0,0)在\(y=x^2\)上 (2)\(y=3x+\frac{1}{3}\)沒有格子點 (3)(-6, 2)在\(y^2=-x-2\)上 (4)圓心在原點,半徑為\(\sqrt{3}\)的圓,沒有格子點 (5)(3, 1)符合該方程式 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}\)
(1)正確:\(3.5^2=12.25\Rightarrow \sqrt{13}>3.5\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\) 解: (1)錯誤: \((-3,6)+t\vec{v}=(-3+t,6-2t)\),若-3+t>0,則6-2t<0,所以(-3+t,6-2t)不在第一象限 (2)正確:\((-3,6)+t\vec{v}=(-3+t,6-t)\),t=4,則(-3+t,6-t)在第一象限 (3)正確:\((-3,6)+t\vec{v}=(-3+0.00t,6)\),t=4000,則(-3+0.00t,6)在第一象限 (4)正確:\((-3,6)+t\vec{v}=(-3+0.00t,6+t)\),t=4000,則(-3+0.00t,6+t)在第一象限 (5)錯誤:\((-3,6)+t\vec{v}=(-3-0.00t,6+t)\),若-3-0.00t>0,則6+t<0,所以(-3-0.00t,6+t)不在第一象限 故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\) 解: (1)錯誤: f(x)=0的根介於x=1與x=2之間,及x=2與x=3之間;x越大則f(x)越大,f(x)為開口向上 (5)錯誤:\(2<\alpha<3\Rightarrow g(\alpha)=f(\alpha)+(\alpha-2)(\alpha-3)=(\alpha-2)(\alpha-3)<0\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(3,4)}\) (1)錯誤:公差為負值,\(a_{1000}\)不一定為正數 答:\(\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}\) 本題的重點是「年齡範圍有所重疊」,也就是第一欄與第二欄的歲數重疊! 答:\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\) 第貳部份:選填題 $${ \overline { OC } }^{ 2 }={ \overline { CD } }^{ 2 }+{ \overline { OD } }^{ 2 }\Rightarrow { 26 }^{ 2 }={ \overline { CD } }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 }\Rightarrow { \overline { CD } }^{ 2 }={ 26 }^{ 2 }-{ 24 }^{ 2 }=100\Rightarrow \overline { CD } =10\\ \frac { \overline { AB } }{ \overline { CD } } =\frac { \overline { OA } }{ \overline { OC } } \Rightarrow \frac { \overline { AB } }{ 10 } =\frac { 24 }{ 26 } \Rightarrow \overline { AB } =\frac { 120 }{ 13 } $$ 答:\(\bbox[red,2pt]{\frac { 120 }{ 13 }}\) $$\begin{cases} x^{ 2 }-ax-b=0恰有一解 \\ (x-2)^{ 2 }+12-ax-b=0恰有一解 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+4b=0 \\ (a+4)^{ 2 }-4(16-b)=0 \end{cases}\\ 其中(a+4)^{ 2 }-4(16-b)=0\Rightarrow a^{ 2 }+4b+8a-48=0\Rightarrow 8a-48=0\\ \Rightarrow a=6\Rightarrow 6^2+4b=0\Rightarrow b=-9$$ 答:\(a=\bbox[red,2pt]{6},b=\bbox[red,2pt]{-9}\) 依題意作圖如下,並假設\(\overline{PB}=a\): 直角\(\triangle ABC\Rightarrow \overline{BC}=6\sqrt{3}\Rightarrow \overline{CP}=6\sqrt{3}-a\) 答:\(\bbox[red,2pt]{4\sqrt{3}}\) 直線\(CD\)的方向向量為(1,-1,1),因此直線方程式為\(\frac{x+2}{1}=\frac{x-4}{-1}=\frac{z}{1}\),則\(P=(t-2,-t-4,t)\)$$\vec { PA } \cdot \vec { PB } =\left( 4-t,t-4,-t \right) \cdot \left( 5-t,t,2-t \right) =\left( t-4 \right) \left( t-5 \right) +t\left( t-4 \right) +t\left( t-2 \right) \\ =3t^{ 2 }-15t+20=3\left( t-\frac { 5 }{ 2 } \right) ^{ 2 }+\frac { 5 }{ 4 } $$當\(t=\frac{5}{2}\)有最小值\(\frac{5}{4}\) 答:\(\bbox[red,2pt]{\frac{5}{4}}\) 由上圖可知:\(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos{150^\circ}=-\cos{30^\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) 答:\(\bbox[red,2pt]{\frac{-\sqrt{3}}{2}}\) 假設橫的叫A、豎的叫B,如上圖所示。 3A3B:有6種 5A1B:有3種 答:\(\bbox[red,2pt]{11}\) \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)是一個轉移距陣,所以\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{bmatrix}\); 行列式值為\(\frac{5}{8}\Rightarrow a(1-b)-b(1-a)=a-b=\frac{5}{8}\Rightarrow a+d=a+(1-b)=a-b+1 = \frac{13}{8}\) 答:\(\bbox[red,2pt]{\frac{13}{8}}\) $$\triangle AEB\Rightarrow \frac { \overline { AB } }{ \sin { \angle AEB } } =\frac { \overline { AE } }{ \sin { \angle ABE } } =\frac { \overline { BE } }{ \sin { \angle BAE } } \Rightarrow \frac { 1 }{ \sin { 120° } } =\frac { \overline { AE } }{ \sin { 45° } } =\frac { \overline { BE } }{ \sin { 15° } } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } =\frac { \overline { AE } }{ \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } } =\frac { \overline { BE } }{ \frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } }{ 4 } } \Rightarrow \begin{cases} \overline { AE } =\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \\ \overline { BE } =\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 3 } } \end{cases}\\ \Rightarrow \overline { DE } =\overline { AE } -\overline { AD } =\overline { AE } -\overline { BE } =\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } -\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 3 } } =\frac { 3\sqrt { 2 } -\sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 3 } } =\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } $$ 答:\(\bbox[red,2pt]{\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } }\) -- END -- |