107學測數學答案

107學測數學參考答案 from 中央社

這題我認為滿難的，除了要熟悉上述章節之外，圓心角與圓周角的關係（國中範圍）、單位圓（半徑為1的圓)，都要像離開房間隨手關燈一樣簡單，有了他們的話，這題就只是單純的計算，但通常大家心裡都沒有他們QQ，所以我把它列為難度滿高的題目。

第8題

全體考生答對率：89%
高分組考生答對率：96%
低分組考生答對率：77%

這題也是考國文程度，或是邏輯能力，哪些級分屬於哪五標，只要列出並選擇符合的，即可得到答案。

國文11級分，均標
英文12級分，前標
數學9級分，均標
自然9級分，均標
社會12級分，前標

只有(1)(4)符合。

第9題

全體考生答對率：44%
高分組考生答對率：66%
低分組考生答對率：26%
鑑別度：40

實際代入、實際用長除法下去除，這題基本上就可以拿得下來了!

第10題

全體考生答對率：41%
高分組考生答對率：71%
低分組考生答對率：21%

這題是典型的三角函數題目，利用餘弦定理、內積、行列式等方法去計算。題目本身不難，只是需要運用到滿多公式的。

實際上的ABC如圖

第11題

全體考生答對率：63%
高分組考生答對率：91%
低分組考生答對率：32%

(1)(2)把點代入檢查即可知道是錯的

(3)由於直線的方向向量與平面的法向量平行，因此直線與平面垂直，沒錯

(4)將直線上的點(1,2,0)代入即可知道點不在平面上，所以直線更不可能在平面上

(5)兩個不平行的平面一定會交於一線

第12題

全體考生答對率：35%
高分組考生答對率：60%
低分組考生答對率：18%

這題不難，而且是一個很好的練習，找出二次曲線的焦點坐標。

第A題

全體考生答對率：46%
高分組考生答對率：91%
低分組考生答對率：5%

這題我有看到其他詳解有利用斜率來計算，當然這樣沒錯！只是我喜歡更圖像式一點的解題方法，把圖畫出來，就非常一目瞭然。

第B題

全體考生答對率：39%
高分組考生答對率：85%
低分組考生答對率：2%

掌握好怎麼去使用cos來計算鄰邊長、以及sin、cos的互換，這題就可以得到了!

第C題

全體考生答對率：24%
高分組考生答對率：60%
低分組考生答對率：1%

我花了點時間做了個動畫，面積最大的時候r=5/ √ 2=3.5355，面積為6.25
https://youtu.be/gyyogE1dA1U

第D題

全體考生答對率：35%
高分組考生答對率：79%
低分組考生答對率：2%

劃出可行解區域，可發現是一個長方形，長方形的話題目就變得非常簡單，要在長方形中塞入一個圓，最大的圓最多就是直徑跟短邊一樣長。

第E題

全體考生答對率：49%
高分組考生答對率：94%
低分組考生答對率：6%

第F題

全體考生答對率：61%
高分組考生答對率：95%
低分組考生答對率：18%

這題應該是個滿容易粗心的一題，但它很簡單。矩陣的乘法要對好前後位置才可以得到正確的答案。如果要較快算出答案，可以針對y的位置去乘，發現有三個未知數c,d,e，所以把這三個算出來就可以了，其餘不需要，但如果你算得快全部都算出來也是沒關係的哈哈

$$r^{ 2 }+(\sqrt { 25-r^{ 2 } } )^{ 2 }=25\Rightarrow \frac { r^{ 2 }+(\sqrt { 25-r^{ 2 } } )^{ 2 } }{ 2 } \ge \sqrt { r^{ 2 }(\sqrt { 25-r^{ 2 } } )^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { 25 }{ 2 } \ge r\times \sqrt { 25-r^{ 2 } } \Rightarrow \frac { 25 }{ 4 } \ge \frac { r\times \sqrt { 25-r^{ 2 } } }{ 2 } =\triangle ABP面積$$

故$\boxed{18}=\bbox[red,2pt]{2},\boxed{19}=\bbox[red,2pt]{5},\boxed{20}=\bbox[red,2pt]{4}$

D. 坐標平面上，圓$\Gamma$完全落在四個不等式：$x-y\le 4、x+y\le 18、x-y\ge -2、x+y\ge -24$所圍成的區域內。則$\Gamma$最大可能面積為$\frac{\boxed{21}}{\boxed{22}}\pi$

解

該圓的直徑長度$2r$=直線$x-y=-2$與直線$x-y=4$的距離=$\frac{4-(-2)}{\sqrt{1+1}}=3\sqrt{2}\Rightarrow $ 面積=$r^2\pi=(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2\pi =\frac{9}{2}\pi$

故$\boxed{21}=\bbox[red,2pt]{9},\boxed{22}=\bbox[red,2pt]{2}$

E. 坐標平面上，若拋物線$y=x^2+2x-3$的頂點為C ，與x 軸的交點為A 、B ，則$\cos{\angle ACB}=\frac{\boxed{23}}{\boxed{24}}$

解

$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4=(x+3)(x-1)\Rightarrow C=(-1,-4), A=(1,0), B=(-3,0)$

$\Rightarrow \overline{CA}=\overline{CB}=2\sqrt{5}, \overline{AB}=4$

因此$\cos{\angle ACB}=\frac{{\overline{CA}}^2+{\overline{CB}}^2- {\overline{AB}}^2}{2\overline{CA}\times\overline{CA}}=\frac{20+20-16}{2\times 2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}} = \frac{3}{5}$