有關金融工具(例如股票)在一定時間內價格變動的數學模型,常用於計算歐式認購期權(European call option)的價格。此模型假定交易活躍的資產之價格有如處於幾何布朗運動(geometric Brownian motion)狀態,持續波動不定。應用在股票期權時,該模型包含了股票的價格波動指標、資金的金錢時間值、期權的行使價,以及距離期權到期的時間。亦稱為布萊克-斯科爾斯-默頓模型(Black-Scholes-Merton Model)。 Investopedia 的解釋 畢蘇模型是現代金融理論最重要的概念之一,它是1973年由費莎‧布萊克(Fisher Black)、羅伯特‧默頓(Robert Merton)和邁倫‧斯科爾斯(Myron Scholes)所創,如今已被廣泛應用於金融業,公認是評估期權價值的最佳模型之一。 C = SN(d1) - Ee-rt N(d2) S=股票(或相關資產)的市價 E=行使價 r =連續的無風險利率(年利率) σ2=股票(或相關資產)連續回報率的變異數(一年) t =距到期日的期間(以年計) N(d)=標準常態分布的隨機變數,其數值小於或等於d的機會率 有關計算例子,可參考企業理財的以下文章,連結如下: [衍生商品] 淺談 Black-Scholes Model 的性質 (0)這次要跟大家介紹衍生商品市場的 Black-Scholes Model (B-S model),此 Formula 是由 Professor Fisher Black, Myron Scholes 與 Robert Merton 在選擇權定價領域的重大突破,此模型亦指引了衍生商品該如何透過無套利機會來獲得合理價格的研究大門。 事實上, B-S model 本質上是用來作為進行 歐式選擇權 (European Option) 定價公式。 在介紹之前,我們需先知道使用 B-S model 的一些假設: 對於股價分布的假設
對於市場的假設
Comment: 考慮股價模型為 Geometric Brownian Motion,故可寫做下列隨機微分方程 SDE \[ 上述隨機微分方程可解得 (Proof: omitted,有興趣讀者請參閱 \[\begin{array}{l} 2. 關於 波動度 (Volatility) $\sigma$ 另外值得一提的是波動度有兩種,一種是 歷史資料波動度 (Historical Volatility) 與 隱含波動度 (Implied Volatility),其中歷史波動度是由歷史資料股價計算收益再由此歷史收益計算標準差將其定為波動度。但是隱含波動度則是透過 Black-Scholes Formula 反推而得。此波動度會在之後再作介紹。 3. 關於 Black-Scholes Formula 本質: Black-Scholes-Metron Formula: B-S Model For Stock Option with Constant Dividend: \[\left\{ \begin{array}{l} \[\left\{ \begin{array}{l} 如果是要計算的話,讀者可以使用 MATLAB 指令 blsprice 協助計算,在此不贅述 Comment: 2. 關於上述 B-S formula的性質: 當 $S_0$ 非常小的時候 (deep in the money for put option, and out of money for call option) 當 $T \rightarrow 0$ 的時候 : 3. 現在如果考慮B-S model 用到其他商品上的情況 B-S Model For Currency Option B-S Model For Future Option 此時 $S_0 = F_0$ 為現時期貨價格、$q = r$ 以下我們看兩個例子: Example 1: 使用 B-S model 來計算 European Put Option on the euro currencies 考慮 現時匯率 $1.05/euro$、執行價格 $1.1/ euro$、歐元利率 $3.1 \%$、美金利率 $5.5 \%$、波動度 $10 \%$、到期時間 $4$個月 Solution 首先改寫已知資訊 $S=1.05, K=1.1, q=3.1\%, r=5.5\%, \sigma=10\%, T=4/12$, 接著計算 $d_1, d_2$: Example 2: Solution 首先改寫已知資訊 $S=31, K=31, q=r=2\%, \sigma=30\%, T=6/12$,(注意到在期貨中 $q=r$ !!) 接著計算 $d_1, d_2$: \[\left\{ \begin{array}{l} ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th. |