拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。 微分中值定理 积分中值定理 相关条目：微积分学
内容编辑拉格朗日中值定理的几何意义 文字叙述编辑如果函数 满足：
那么至少有一点 ，使下面等式成立 证明编辑令 。那么
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高中数学中的拉格朗日中值定理 数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠 [拉格朗日中值定理] 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。 定理表述 拉格朗日中值定理及几何意义 拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。返回搜狐，查看更多 责任编辑： 声明：该文观点仅代表作者本人，搜狐号系信息发布平台，搜狐仅提供信息存储空间服务。 ➤ 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 y=f(x) 满足： （1）在闭区间 [a, b] 上连续； （2）在开区间 (a, b) 内可导； 定理结论：那么在 (a, b) 内至少存在一点 ξ (a<ξ<b)，使得： f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a). 对此定理有以下注意点： （1）如果 f(a) = f(b)，则此定理的结论正是罗尔定理的结论，故：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。可以用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理。 （2）[ f(b) - f(a) ] ／(b-a) = f'(ξ)，等式左侧为端点弦的斜率，右侧为曲线在一点处切线的斜率。其几何意义为：连续的曲线弧AB，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在此曲线弧上至少有一点C，在C处的切线与弦AB平行。若曲线上的点的切线均与弦AB平行，则曲线弧AB是一条水平直线。 （3）与罗尔定理一样，只有满足定理的两个条件，定理结论才成立。不成立即：曲线上的点不存在与弦AB平行的切线。 B站个人主页：https://space.bilibili.com/513745196 知乎个人主页：https://www.zhihu.com/people/LingZhiZi 微信公众号搜索：灵知子 自己一直用史济怀老师的视频和教材学习数学分析。对于史济怀老师证明拉格朗日中值定理的方法感觉太突兀了，在看知乎关于史济怀老师那本书的评论时，甚至有人因为一个定理的证明就否定整本书，我觉得还是欠妥，我个人认为，史济怀老师的书以及讲课视频还是挺不错的。 下面步入正题。证明过程一般是用费马定理先证明罗尔定理，再根据罗尔定理证明拉格朗日中值定理。史济怀老师直接构造了一个函数，显得很突兀。我认为证明思路如下是比较好的（具体细节，如闭区间连续，开区间可导之类的话不再赘述）： 根据罗尔定理，如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。 再看拉格朗日中值定理形式 为了证明，我们先变换一下 f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b) …………………………式1 f(a)-f(b)-f'(\xi)(a-b)=0 …………………式2 结合罗尔定理，我们很自然联想到式2左边是某个函数的导数就好了。因此可以很容易联想到下面的函数： g(x)=(f(a)-f(b))x-f(x)(a-b) …………式3 很容易验证，式3的导数就是式2左边部分，且 g(a)=g(b)=bf(a)-af(b) …………式4 根据罗尔定理存在 ξ∈(a,b)使得 g'(\xi)=0 , 即式2成立，由此，拉格朗日中值定理得证。 同样的思路也可以用在柯西（Cauthy）中值定理证明。 |
拉 格 朗 日 中 值 定理
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