106學年度學科能力測驗試題 數學考科 第壹部分:選擇題(占 65 分 ) 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\) 2.某個手機程式,每次點擊螢幕上的數\(a\)後,螢幕上的數會變成\(a^2\)。當一開始時螢幕上的數\(b\) 為正且連續點擊螢幕三次後,螢幕上的數接近\(81^3\) 。試問實數\(b\) 最接近下列哪一個選項? (1) 1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 3. 設\(\Gamma: \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)為坐標平面上一雙曲線,且其通過第一象限的漸近線為\(\ell\)。考慮動點\(t,t^2\),從時間 \(t\)時出發。當\(t>0\) 時,請選出正確的選項。 解: 由雙曲線方程式可知其為上下形,漸近線為\(by=ax\),另\((t,t^2)\)代表拋物線\(y=x^2\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 4. 在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點\(A,C\) 同時出發,各自以等速直線運動分別向頂點 \(B,D\)前進,且在1秒後分別同時到達\(B,D\) 。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。 (1) 兩質點的距離固定不變 解: 假設O為原點,各D座標如上圖。 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 5.下圖是某城市在2016年的各月最低溫(橫軸 )與最高溫(縱軸 )的散佈圖。
今以溫差(最高溫減最低溫)為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。試依此選出正確的選項。 解: 原圖(x=最低溫,y=最高溫),新圖為(y-x,y) $$\begin{array}{} (X,Y) & (Y-X,Y)\\\hline (-12,5) & (17,5)\\ (-9,4) & (13,4)\\ (-8,6) & (14,6) \\ (-3,9) & (12,9) \\ (1,9) & (8,9) \\ (3,12) & (9,12) \\ (7,18) & (11,18) \\ (10,21) & (11,21) \\ (15,22) & (7,22) \\ (17,24) & (7,24) \\ (19,27) & (8,27) \\ (20,27)& (7,27)\end{array}$$ 原圖(藍點)與新圖(紅點)可以看出,新圖為負相關,而且接近一條垂直線,也就是相關性較弱 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 6.試問有多少個實數 \(x\)滿足\(\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}\)且\(\cos{x^\circ}<\cos{x}\)? (1) 0個 (2) 1個 (3) 2個 (4) 4個 (5) 無窮多個 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\) 7.小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇:牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐: 解: 甲:點2次A,其餘各1次,即AABCD來排列。但A、A、B三者不相鄰,只能排成A○A○B,C與D只能排在○的位置。AAB有3種排法,CD有2種排法,共有3X2=6種排法; 乙:點2次B,此情形與甲相同,共有6種排法。 丙:點2次C,其它ABD各一次。CCABD共有\(\frac{5!}{2!}=60\)種情形,但需扣除CC相鄰或AB相鄰。CC相鄰共有4!=24種情形,AB相鄰共有\(\frac{4!}{2!}\times 2=24\)種情形,CC相鄰且AB相鄰共有\(3!\times 2=12\)種情形。因此丙有60-24-24+12=24 丁:點2次D,此情形與丙相同,共有24種排法。 甲+乙+丙+丁=6+6+24+24=60 故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\) 二、多選題 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3)}\) 9. 設\(\Gamma\)為坐標平面上的圓,點(0,0)在\(\Gamma\)的外部且點(2,6) 在\(\Gamma\) 的內部。請選出正確的選項。 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 10.坐標空間中有三直線\(L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1},L_2:
\begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases},L_{ 3 }:\begin{cases} x=-t \\ y=-2-t \\ z=4+4t \end{cases},t\)為實數。請選出正確的選項。 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\) 11. 設最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形 \(ABCDE\),其示意圖如下。關於這五邊形,請選出正確的選項。 (1) \(\overline{AD}=2\sqrt{2}\) (1)\(\triangle EDA\)為等腰直角\(\Rightarrow \overline{AD}=2\sqrt{2}\),此選項正確 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\) 12. 某班級50位學生,段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人,且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有\(x\) 人,數學及格但英文不及格的有 \(y\)人。請選出正確的選項。 解: (1) \(x+y\)為數學及格人數=34 故選\(\bbox[red,2pt]{(2,5)}\) 13. 空間中有一四面體\(ABCD\)。假設\(\overrightarrow{AD}\)分別與\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)垂直,請選出正確的選項。 (1)$$\overrightarrow { DB } \cdot \overrightarrow { DC } =\left( \overrightarrow { DA } +\overrightarrow { AB } \right) \cdot \left( \overrightarrow { DA }
+\overrightarrow { AC } \right) \\ ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+\overrightarrow { DA } \cdot \overrightarrow { AC } +\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { DA } +\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } \\ ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+0+0+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } ={ \left| \overrightarrow { DA } \right| }^{ 2 }+\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { AC } $$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3,5)}\) 第貳部分:選填題 解:$$令f\left( x \right) =px^{ 2 }+qx+r\Rightarrow a_{ n }=a_{ n-1 }+p\left( n-2 \right) ^{ 2 }+q\left( n-2 \right) +r\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 4 }=12 \\ a_{ 3 }=5 \\ a_{ 2 }=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 12=5+4p+2q+r \\ 5=2+p+q+r \\ 2=1+r \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2p+q=3 \\ p+q=2 \\ r=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} p=1 \\ q=1 \\ r=1 \end{cases}\\ \Rightarrow a_{ 5 }=a_{ 4 }+f\left( 3 \right) =12+9p+3q+r=25$$ 答:\(\bbox[red,2pt]{(25)}\) 解: $$令\overrightarrow { AM } =t\overrightarrow { AP } =t\left( \frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow { AB } +\frac { 1 }{ 5 } \overrightarrow { AC } \right) =\frac { t }{ 2 } \overrightarrow { AB } +\frac { t }{ 5 } \overrightarrow { AC } \\ 由於B,M,C在一直線上\Rightarrow \frac { t }{ 2 } +\frac { t }{ 5 } =1\Rightarrow t=\frac { 10 }{ 7 } \\ \Rightarrow \overrightarrow { AM } =\frac { 10 }{ 7 } \left( \frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 5 }{ 6 } \right) =\left( \frac { 40 }{ 21 } ,\frac { 25 }{ 21 } \right) $$ 答:\(\bbox[red,2pt]{(\frac { 40 }{ 21 } ,\frac { 25 }{ 21 })}\) 解: 因此a=\(\bbox[red,2pt]{(7)}\) 解: 答:\(\bbox[red,2pt]{(-5)}\) 解: 此題要先求出a及b,再由\(\log{a}及\log{b}內插出\log{x}\)$$\log { x } \approx \frac { 1 }{ 3 } \log { a } +\frac { 2 }{ 3 } \log { b } =\frac { 1 }{ 3 } \left( 1+2\log { 3 } -\log { 2 } \right) +\frac { 2 }{ 3 } \left( 4\log { 2 } +\log { 3 } \right) \\ =\frac { 1 }{ 3 } \log { \left( 10\times 3^{ 2 }\div 2 \right) } +\frac { 2 }{ 3 } \log { \left( 2^{ 4 }\times 3 \right) } =\frac { 1 }{ 3 } \log { 45 } +\frac { 2 }{ 3 } \log { 48 } \\ \Rightarrow a=45,b=48\Rightarrow x=\frac { 2\times 48+45 }{ 2+1 } =47$$ 答:\(\bbox[red,2pt]{(47)}\) 解: 故選\(\bbox[red,2pt]{(\frac{9}{64})}\) 解: 在直角\(\triangle AGB\)中,\({\overline{GB}}^2=24^2+18^2=900\Rightarrow \overline{GB}=30\); 直徑為\(\bbox[red,2pt]{14.4}\)公尺 -- END -- |